다양한 Lyapunov Theorem.

연계된글

Lyapunov function : http://blog.rakjoon.net/entry/Lyapunov-function

다양한 Lyapunov theorem : http://blog.rakjoon.net/entry/다양한-Lyapunov-Theorem

Lyapunov Control Design : http://blog.rakjoon.net/entry/Lyapunov-Control-Design

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강의 자료 : http://stanford.edu/class/ee363/lectures/lyap.pdf

(위에 강의 자료만 참고함 .. 이라 쓰고 이해한대로 배껴씀 ..)

Lyapunov Theory에 다양한 조건이 붙으면 다양한 Theorem이 나올 수 있는데 . 

강의 자료에 나와있는 종류는 

○ A Lyapunov global asymptotic stability theorem.

○ A Lyapunov exponential stability theorem.

○ Lasalle's Theorem

○ A Lyapunov instability theorem.

○ A Lyapunov divergence theorem.

○ A Converse divergence theorem.

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Lyapunov function이란 ? &  A Lyapunov global asymptotic stability theorem 이란?

http://blog.rakjoon.net/entry/Lyapunov-function

이쪽 가서 참고하세요.

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A Lyapunov exponential stability theorem.

•   V 가 PD ( Positive definite : V(z) >= 0 for all z, V(z) = 0 only if z = 0, all sub level sets of V are bounded )

•  for all z

 위 두 조건을 만족하는 함수 V 와 상수> 0 이 존재한다면,

모든 system 의 경로(trajectory) 는 를 만족하는 M이 존재한다.

를 ( G. E. S 라 함 => global exponential stability)

개인적인 증명을 해보려 했지만 . 증명하지 못했다. (Keep)

V와 x의 관계식이 존재하지 않는데 유도하는건 어려운것 같다.

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Lasalle's Theorem

Lasalle's Theorem 은 시스템이 G.A.S (global asymptotic stable) 결정하는 theorem이다.

system에 function V가

• V is PD ( Positive Definite ) 이고,

• 이고,

•   와 를 만족하는 유일한 솔루션이 w(t) = 0 (모든 t 에 대해서)일 때.

이 시스템을 G.A.S라고 할 수 있다.

다른 Lyapunov theorem들은 extend to time-varying system이지만, Lasalle's theorem requires time-invariance . 

증명해보자 : )

마지막 조건을 보면 => 와 를 만족하는 유일한 솔루션이 w(t) = 0 (모든 t 에 대해서)일 때.

결국 Z = 0 인경우 말고 인 경우가 존재하지 않는다는 소리다. 

그렇기 때문에 x(t)가 0으로 수렴하지 않는다고 가정하면 V(z)는 계속 감소 할 것이고 결국 V(z)가 음수가 되어 

따라서 x(t)는 0으로 수렴할 수 밖에 없다. (http://blog.rakjoon.net/entry/Lyapunov-function 여기서 Lyapunov function의 global asymptotically stable 확인 하는 부분과 같음을 알 수 있다.)

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A Lyapunov instability theorem.

•  for all z ( or just whenever V(z) <= 0) 이고

• V(w) < V(0)인 w가 존재하는

이러한 function V가 존재한다면 이면서 시작 값이  x(0) = w 인 시스템은 zero에 수렴하지 않는다 ( not G.A.S)

디테일 하지 않은 증명은 ) V(x)는 시간이 지남에 따라서 감소해야하므로 

V(x(t)) <= V(x(0)) 이고,  V(x(0)) < V(0)이기 때문에 x(t)가 0으로 수렴하게 된다면 모순이다. 따라서 x(t)는 0에 수렴하지 않는다.

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A Lyapunov divergence theorem.

•   whenever V(z) < 0

• V(w) < 0인 w가 존재한다.

위 를 만족하는 함수가 존재한다면, 이면서 시작값이 x(0) = w 인 시스템은 divergence 하다. 계속 내려간다.

증명이 필요 없을 정도로 간단한다.

Non-linear system을 분석하기란 어렵다. 그렇기 때문에 이러한 다양한 방식들이 ( stable 한지 확인하기 위한것들이) 존재 한 것이고,

종류가 다양해서 다 외우는건 불가능 하다고 생각하고 여기다 정리해놓고 꺼내 먹어야겠다 ㅎㅎ.