Lyapunov Control Design

연계된글

Lyapunov function : http://blog.rakjoon.net/entry/Lyapunov-function

다양한 Lyapunov theorem : http://blog.rakjoon.net/entry/다양한-Lyapunov-Theorem

Lyapunov Control Design : http://blog.rakjoon.net/entry/Lyapunov-Control-Design

---

Control-Lyapunov function

일단 control-Lyapunov function은 Lyapunov function 이 무엇인지 우선 알아야한다.

Wiki : (https://en.wikipedia.org/wiki/Control-Lyapunov_function)

뭐하는 것인가(?) :  

Lyapunov function 은 dynamic system이 stable한지 unstable인지 확인 함.

stable 하다는 것은  system이 x != 0 인 도메인 D 에서 시작해서 D안에 계속 머물로 있는 것을 뜻하고.

특히 asymptotic stable 한것은 => 결과적으로 x = 0로 가는 경우를 뜻한다.

control-Lyapunov function은 system is feedback stabilizable 한지 확인함.

The control-Lyapunov function은 주로 system이 feedback stabilizable(안정화 가능)인지 확인할때 쓰인다.

feedback stabilizable 하다는 것은 ( 어떠한 x가 현재 상태일 때 x를 0으로 수렴시키는  control u(x,t)가 존재하는가)를 보는것이다.

좀 더 formally 하게 나타내면, 만약 우리가 dynamical system을 가정해보면,

x' = f(x,u)

x는 state vector matrix이고 이고 u 는 control vector matrix 이다. 

feedback stabilize인 어떠한 도메인 D(R^n) 에서 feedback stabilize(x => 0)인 것이다.

---

정의.

control-Lyapunov function은 V : D -> R( Real ). 연속적으로 미분이 가능하고, positive-definite( V(x)는 x = 0일 때를 제외하고 항상 양수 이다. 이를 식으로 나타내면 (도메인 D에서) 

Ɐ 문자의 의미는 all. 즉) 모든 x는 != 0 이고

Ǝ 문자의 의미는 there exists 이다. 즉) u는 존재한다. 

∇ 문자의 의미는 grad 각 방향으로 편미분한 벡터입니다.  

마지막 식이 Key point 인데 V(x)가 계속 감소 하게 되는 것이다. V'(x,u)가 0보다 작으므로.

그리고 V(x)가 항상 양수라고 했으니 (x != 0). V 값이 0으로 수렴하게됨.

---

Example)

https://en.wikipedia.org/wiki/Control-Lyapunov_function

에 있는 example을 한번 해보는 것을 추천한다.