Lyapunov function.

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Lyapunov function : http://blog.rakjoon.net/entry/Lyapunov-function

다양한 Lyapunov theorem : http://blog.rakjoon.net/entry/다양한-Lyapunov-Theorem

Lyapunov Control Design : http://blog.rakjoon.net/entry/Lyapunov-Control-Design

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control Lyapunov function을 공부하다가 Lyapunov function이 무엇인지 모르면 이해가 안되는것 같다. 그래서 

출처 : https://en.wikipedia.org/wiki/Lyapunov_function

Lyapunov function에 대해 정리해보자.

Lyapunov function이란 무엇인가.

stability of ODE( Ordinary Differential Equation, 상미분 방정식 ( 미지함수가 독립변서 한개만 포함한 미분 방정식 F(x,y,y',y'' ... ) = 0 ) )

를 판별하는 scalar function이다.

Lyapunov functions 는 stability theory of dynamical systems and control theory에 중요하다.

비슷한 컨셉으로 Theory of general state space Markov chains 이 있고, Foster-Lyapunov function이라고 부른다.

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Lyapunov function의 정의

1. A Lyapunov function for an autonomous dynamical system

${\displaystyle \stackrel{<span\; style="font-family:\; Gulim,\; 굴림;">\dot{}</span>}{\mathrm{<span\; style="font-family:\; Gulim,\; 굴림;">y</span>}}<span\; style="font-family:\; Gulim,\; 굴림;">=</span>\mathrm{<span\; style="font-family:\; Gulim,\; 굴림;">g</span>}<span\; style="font-family:\; Gulim,\; 굴림;">(</span>\mathrm{<span\; style="font-family:\; Gulim,\; 굴림;">y</span>}<span\; style="font-family:\; Gulim,\; 굴림;">)</span>}$

y = 0 에서 equilibrium is a scalar function V ( V = R^n -> R은 연속이고, 미분값도 연속이고 양의 값을 가지고,  값도 지역적으로 양수이다.)

2. A Lyapunov candidate-function for an autonomous dynamical system

Lyapunov function이 될 수 있는 candidate function이다.

${\displaystyle \stackrel{<span\; style="font-family:\; Gulim,\; 굴림;">\dot{}</span>}{\mathrm{<span\; style="font-family:\; Gulim,\; 굴림;">y</span>}}<span\; style="font-family:\; Gulim,\; 굴림;">=</span>\mathrm{<span\; style="font-family:\; Gulim,\; 굴림;">g</span>}<span\; style="font-family:\; Gulim,\; 굴림;">(</span>\mathrm{<span\; style="font-family:\; Gulim,\; 굴림;">y</span>}<span\; style="font-family:\; Gulim,\; 굴림;">)</span>}$

y = 0 에서 equilibrium is a scalar function V ( V = R^n . R은 연속이고, 미분값도 연속이고 양의 값을 가진다)

여기까지는 위와 같은 조건이지만 가 양수라는 조건이 존재하지 않는다.

즉) candidate-function에서 를 만족한다면 이를 Lyapunov function이라고 할 수 있다.

3. 추가적인 discussion

Lyapunov function은 dynamical systems의 equilibrium point에 대한 연구로 부터 시작되었다.

An arbitrary autonomous dynamical system을 로 표현할 수 있고

equilibrium 한 지점을 y* 라고 표현하면 g(y*) = 0이라고 할 수 있다.

y*으로 평행이동 한 함수를 x 라고 표현하면

${\displaystyle \mathrm{<span\; style="font-family:\; Gulim,\; 굴림;">f</span>}<span\; style="font-family:\; Gulim,\; 굴림;">(</span>\mathrm{<span\; style="font-family:\; Gulim,\; 굴림;">0</span>}<span\; style="font-family:\; Gulim,\; 굴림;">)</span><span\; style="font-family:\; Gulim,\; 굴림;">=</span>\mathrm{<span\; style="font-family:\; Gulim,\; 굴림;">0.</span>}}$

H(x)에 대한 function이라면 

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Wiki에 존재하는 example의 풀이는 참 간단하다.

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위키에는 증명도. 원리도 이해하기 힘들게 되어있다. (나만 그런가 ?)

여기까지가 위키의 내용 .. 구글에서 Lyapunov function을 검색하면 stanford의 강의 자료를 볼 수 있다. 그걸 공부했다. (포트스가 좀 길어지겠지만 여기서 다루면 사람들이 이해못하고 나갈 수도 있기 때문에 간단한 부분을 짚고 넘어가자)

출처 : http://stanford.edu/class/ee363/lectures/lyap.pdf

강의 자료에서는 Lyapunov theory 부터 시작한다.

Lyapunov theory => 경로를 직접 구하지 않고 ( differential equation을 직접 풀지 않고 ) system 경로의 결과( such as G.A.S )를 유추하는 방법 이다.

만약 V : R^n -> R 이면서 V와 dV/dt 가 특정 조건을 만족하면,

시스템의 경로는 특정한 성질을 갖는다. 이때의 V를 Lyapunov function이라고 한다.

wiki에서 설명한 Lyapunov function은 lecture의

A Lyapunov global asymptotic stability theorem 와 비슷하다. 

( wiki는 G.A.S 인 경우와  L.A.S일 경우의 조건을 따로 나타내어 있다. )

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A Lyapunov global asymptotic stability theorem:

A Lyapunov global asymptotic stability theorem 증명:

만약 X(t) 가 0에 수렴하지 않을때. 

V 는 양수에 감소하는 값을(t가 증가함에 따라) 가지고 ( < 0 이므로) 있으므로, 일정한값 e에 수렴한다.

 x(t)가 0에 수렴하지 않으므로, 

모든 t 에서 e <= V(x(t)) <= V(x(0)) 이라고 할 수 있다.

이때 의 최대값을 -a라고 하면.  (  < 0 이므로 a 는 양수이다.  a ! = 0인 이유는 중에 0 인 값은 (0) 밖에 없기 때문에.)

V(x(t)) = V(x(0)) + <= V(x(0)) - a * t

하지만 t 가 매우 커지면 V 는 무조건 양수인데 V(x(0)) - a * t 는 t -> 무한으로 가면 음수가 되기 때문에 

모순 (contradiction) 이라고 할 수 있다.

그러므로 X(t)는 0으로 수렴해야 한다. 

그럼 X(t)가 0으로 수렴한다고 하면 ?

e <= V(x(t)) <= V(x(0)) 인건 무조건이고 최대값은 0이다. 왜냐하면  = 0 이기 때문이다.