autonomous system vs Non-autonomous system

Non-autonomous system 

 

수학에서, autonomous system은 smooth manifold 에서의 운동 방정식이고. 

non-autonomous system은 smooth fiber bundle (Q -> R over R )에서의 운동 방정식이다. 

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smooth manifold 와 smooth fiber bundle 이란?

manifold는 

a manifold is a topological space that locally resembles Euclidean space near each point. More precisely, each point of an n-dimensional manifold has a neighborhood that is homeomorphic to the Euclidean space of dimension n.

fiber bundle 은 특정한 부분의 bundle을 뜻한다.

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그렇다면 이 둘의 차이점이 뭘까?

In mathematics, an autonomous system or autonomous differential equation is a system of ordinary differential equations which does not explicitly depend on the independent variable. When the variable is time, they are also called time-invariant systems.

 일단 autonomous system은 독립적인 변수에 의존하지 않는 ODE이고, 만약 그 변수가 시간이라면 그것을 시불변 시스템이라고 부른다.

 이와 반대로 non-autonomous system은 독립적인 변수에 의존하는 ODE 이고, 의존하는 변수가 존재하기 때문에 특정 상황에서 이루어지는 운동방정식이다. 

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식으로 표현해보면 

autonomous system을 ODE form으로 나타내면 

$$ \frac{d}{dt} x(t) = f(x(t)) $$

x가 n차원의 유클리안공간에 존재하고 t는 일반적으로 시간이다. 

위와 다른 non-autonomous system을 ODE form으로 나타내면

$$ \frac{d}{dt} x(t) = g(x(t),t) $$

이고, x 의 움직임이 x자체의 움직임에 영향을 받을 뿐만아니라 t에 대해서도 영향을 받는다. 그렇기 때문에 독맂벅인 변수에 의존하고 이를 non-autonomous system 이라고 한다.